摘要随机变量的分布常分为离散分布，连续分布和混合分布，本文主要介绍在概率论与数理统计中常用的几大连续分布，以及如何使用 Mathematica 调用使用相应分布并画图。
文章目录(Table of Contents)
Toggle连续分布正态分布均匀分布指数分布伽马分布贝塔分布
连续分布
这里介绍一些常用的连续分布，关于使用 matplotlib 可视化分布的 pdf（概率密度函数） 和 cdf（累计分布函数），可以参考文章，matplotlib 可视化概率密度函数(pdf)和累计分布函数(cdf)
这一章中所有的测试均使用 mathematicas 来进行测试，例如绘制 cdf 和 pdf，计算均值与方差。
正态分布
正态分布（Normal distribution），又名高斯分布（Gaussian distribution）,若随机变量 X 服从一个数学期望为 μ、方差为 σ^2 的正态分布，记为 X~N(μ， σ^2)。
正态分布的概率分布列：
均值：μ
方差：σ^2
使用 mathematica 产生正态分布（举例 N(0,1)）：
data1 = NormalDistribution[0, 1]
则 data1中存有模拟该正态分布得到的数据
计算均值和方差：
Mean[data1]
>>0.
Variance[data1]
>>1.
画出正态分布的概率密度函数图（pdf）：
Plot[PDF[data1, x], {x, -5, 5}]
可视化正态分布的分布函数图（cdf）：
Plot[CDF[data1, x], {x, -5, 5}]
均匀分布
在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它在相同长度间隔的分布概率是等可能的。 均匀分布由两个参数 a 和 b 定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常记为 U(a, b)。
均匀分布的概率分布列：
均值： (a+b)/2
方差：(b-a)^2/12
使用 mathematica 产生均匀分，举例 U(0,1)：
data2 = UniformDistribution[{0, 1}]
则 data2 中存有模拟该均匀分布得到的数据，下面计算均匀分布的均值方差，并绘制出 pdf 和 cdf。
计算均值和方差：
Mean[data2]
>>1/2.
Variance[data2]
>>1/12.
画出其密度函数图：
Plot[PDF[data2, x], {x, 0, 1}]
画出其分布函数图：
Plot[CDF[data2, x], {x, 0, 1}]
指数分布
指数分布，也称为负指数分布，具有无记忆的性质，其中 λ > 0 是分布的一个参数， 如果一个随机变量 X 呈指数分布，则可以记作 X~Exp(λ)。
指数分布的概率分布列：
均值：1/λ
方差：1/λ^2
使用 mathematica 产生指数分布，这里举例 Exp(0.5)：
data3 = ExponentialDistribution[0.5]
则data3中存有模拟该指数分布得到的数据
计算均值和方差：
Mean[data3]
>>2.
Variance[data3]
>>4.
画出其密度函数图：
Plot[PDF[data3, x], {x, 0, 20}]
画出其分布函数图：
Plot[CDF[data3, x], {x, 0, 20}]
伽马分布
伽玛分布（Gamma Distribution）中的参数 α 称为形状参数，β 称为尺度参数，若随机变量服从伽马分布，则记为 X~Ga(α，β)。
伽马分布的概率分布列：
均值：α/β
方差：α/β^2
使用 mathematica 产生伽马分布，举例 Ga(2，2)：
data4 = GammaDistribution[2, 2]
则 data4 中存有模拟该伽马分布得到的数据
计算均值和方差：
Mean[data4]
>>4.
Variance[data4]
>>8.
画出其密度函数图：
Plot[PDF[data4, x], {x, 0, 20}]
画出其分布函数图：
Plot[CDF[data4, x], {x, 0, 20}]
不同参数的密度函数比较：
Ga[10, 20] = PDF[GammaDistribution[1, 2], x]
Ga[20, 20] = PDF[GammaDistribution[3, 3], x]
Ga[20, 30] = PDF[GammaDistribution[4, 7], x]
Ga[10, 50] = PDF[GammaDistribution[5, 10], x]
Plot[{Ga[10, 20], Ga[20, 20], Ga[20, 30], Ga[10, 50]},
{x, 0, 50},
PlotLegends -> "Expressions",
PlotRange -> {0, 0.15}]
贝塔分布
服从贝塔分布（Beta Distribution)的变量 x 仅能出现于 0 到 1 之间，a，b是两个大于 0 的参数，随机变量服从参数为 a 和 b 的贝塔分布，则记为 X~B(a,b)。
伽马分布的概率分布列：
均值：a/(a+b)
方差：ab / ((a+b)^2*(a+b+1))
使用 Mathematica 产生伽马分布，举例Be(2，2)：
data5 = BetaDistribution[2, 2]
则 data5 中存有模拟该贝塔分布得到的数据
计算均值和方差：
Mean[data5]
>>1/2.
Variance[data5]
>>1/20.
画出其密度函数图：
Plot[PDF[data5, x], {x, 0, 1}]
画出其分布函数图：
Plot[CDF[data5, x], {x, 0, 1}]
不同参数的密度函数比较：
B[2, 2] = PDF[BetaDistribution[2, 2], x]
B[2, 3] = PDF[BetaDistribution[2, 3], x]
B[2, 4] = PDF[BetaDistribution[2, 4], x]
B[3, 5] = PDF[BetaDistribution[3, 5], x]
Plot[{B[2, 2], B[2, 3], B[2, 4], B[3, 5]}, {x, 0, 1}, PlotLegends -> "Expressions"]